Hệ hai phương trình bậc nhâ't hai ẩn Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là a.x + Uy = c. P " (*) a2x + b2y = c2 trong đó X, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ thl (x0; yo) gọi là 6. Cách bấm máy tính casio fx 570ES Plus giải hệ phương trình … Cách bấm máy tính casio fx 570ES Plus giải hệ phương trình … Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng máy tính casio fx 570ES Plus. Hệ phương trình hai ẩn được máy ghi là dạng hệ PT tổng quát Hướng dẫn giải chi tiết dạng bài Xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà không giải hệ phương trình thuộc chuyên đề Chương 3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Phần 1. Đại số lớp 9, gồm phương pháp giải, lý thuyết và bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Bước 1: Từ một phương trình, ta rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai và rút gọn để được một phương trình mới còn 1 ẩn. Bước 2: Giải phương trình mới rồi thế vào 1 phương trình ban đầu đầu để giải ¤ Cách giải 1: Khử dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa (nên sử dụng khi 1 trong 2 vế của phương trình có bậc 2) + Nếu 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3 thì: (1) ⇔ 3x – 2 = 2x + 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện x ≥ 2/3). Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Nợ Xấu. Giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức lớp 9 là một trong những dạng bài tập không khó, để giải các dạng bài tập này các em cần nắm vững các phương pháp biến đổi tương đương hệ phương cụ thể, cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức lớp 9 như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này và vận dụng giải các bài tập minh hoạ để hiểu rõ hơn nhé. I. Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức * Phương pháp giải Để giải hệ phương trình ẩn ở mẫu thức chúng ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,... * Chú ý Các điều kiện để mẫu thức có nghĩa và đối chiếu điều kiện trước khi kết luận nghiệm của hệ phương trình. II. Bài tập giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức * Bài tập 1 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện y ≠ 0 - Xét pt 1 của hệ, ta rút ra được 3 Thay vào pt 2 của hệ, ta được thoả điều kiện Thay y = 6 vào 3, ta được Vậy hệ có nghiệm x; y = 4; 6. * Bài tập 2 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện Đặt Khi đó hệ có dạng Có thoả Có thoả Vậy hệ có nghiệm x; y = 4; 1 * Bài tập 3 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0; Đặt khi đó hệ phương trình trở thành thoả điều kiện Vậy hệ có nghiệm x; y = 7/9; 7/2 * Bài tập 4 Giải hệ phương trình * Lời giải - Điều kiện Đặt khi đó hệ trở thành Từ thoả đk Từ thoả đk Vậy hệ có nghiệm x; y = 19/7; 8/3Hy vọng với bài viết Cách giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và bài tập vận dụng lớp 9 ở trên của Hay Học Hỏi giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt. Hệ phương trình online, giờ đây các bạn có thể giải hệ phương trình chính xác, dễ dàng với bảng tính trực tuyến của Từ đó tự so sánh kết quả tính ra giấy để đánh giá kết quả học tập. Đồ thị \ax + by + c = 0 ⇒ f_1 y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b}\ \dx + ey + f = 0 ⇒ f_2 y = -\frac{d}{e}x – \frac{f}{e}\ Khái Niệm Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Số Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng \\\\begin{cases}ax + by = c 1\\a’x + b’y = c’ 2\end{cases}\ Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số. Nếu hai phương trình 1 và 2 có nghiệm chung \x_0, y_0\ thì \x_0, y_0\ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Trái lại, nếu hai phương trình 1 và 2 không có nghiệm chung thì ta nói hệ phương trình vô nghiệm. Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Dạng 1 Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản Vận dụng quy tác thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau – Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế \\begin{cases}3x – 2y = 4\\2x + y = 5\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}3x – 25 – 2x = 4\\y = 5 – 2x\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}3x – 10 + 4x = 4\\y = 5 – 2x\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}7x = 14\\y = 5 – 2x\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 5 – \⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\ Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y = 2; 1 – Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số \\begin{cases}3x – 2y = 4\\2x + y = 5\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}3x – 2y = 4\\4x + 2y = 10\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}7x = 14\\2x + y = 5\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}x = 2\\ + y = 5\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\ Vậy hệ phuong trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y = 2; 1 Dạng 2 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ 1 \\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\\\frac{8}{x} + \frac{15}{y} = 1\end{cases}\ 2 \\begin{cases}\frac{2}{x + 2y} + \frac{1}{y + 2x} = 3\\\frac{4}{x + 2y} – \frac{3}{y + 2x} = 1\end{cases}\ 3 \\begin{cases}\frac{3x}{x + 1} – \frac{2}{y + 4}\\\frac{2x}{x + 1} – \frac{5}{y + 4} = 9\end{cases}\ 4 \\begin{cases}x^2 + y^2 = 13\\3x^2 – 2y^2 = -6\end{cases}\ 5 \\begin{cases}3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 16\\2\sqrt{x} – 3\sqrt{y} = -11\end{cases}\ 6 \\begin{cases}x + 4y = 18\\3x + y = 10\end{cases}\ Dạng 3 Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải – Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x. – Giải sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng ax = b 1 – Biện luận phương trình 1 ta sẽ có sự biện luận của hệ i Nếu a = 0; 1 trở thành 0x = b + Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm + Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm ii Nếu a ≠ 0 thì 1 \⇒ x = \frac{b}{a}\, thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình \\begin{cases}mx – y = 2m 1\\4x – my = m + 6 2\end{cases}\ Từ 1 ⇒ y = mx – 2m, thay vào 2 ta được \4x – mmx – 2m = m + 6 ⇔ m^2 – 4x = 2m + 3m – 2 3\ i Nếu \m^2 – 4 ≠ 0\ hay \m ≠ ±2\ thì \x = \frac{2m + 3m – 2}{m^2 – 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}\ Khi đó \y = -\frac{m}{m + 2}\. Hệ có nghiệm duy nhất \\frac{2m + 3}{m + 2}; -\frac{m}{m + 2}\ ii Nếu m = 2 thì 3 thỏa mãn với mọi x, khi đó \y = mx – 2m = 2x – 4\ Hệ có vô số nghiệm x, 2x – 4 với mọi x ∈ R iii Nếu m = -2 thì 3 trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm Vậy – Nếu m ≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất \x, y = \frac{2m + 3}{m + 2}; \frac{m}{m + 2}\ – Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm x, 2x – 4 với mọi x ∈ R – Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Dạng 4 Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải – Giải hệ phương trình theo tham số – Viết x, y của hệ về dạng \n + \frac{k}{fm}\ với n, k nguyên – Tìm m nguyên để fm là ước của k Ví dụ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên \\begin{cases}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\ Hướng dẫn giải \\begin{cases}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}2mx + 4y = 2m + 2\\2mx + m^2y = 2m^2 – m\end{cases}\ \⇔ \begin{cases}m^2 – 4y = 2m^2 – 3m – 2 = m – 22m + 1\\2x + my = 2m – 1\end{cases}\ để hệ có nghiệm duy nhất thì \m^2 – 4\ ≠ 0 hay \m ≠ ±2\ Vậy với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất \\begin{cases}y = \frac{m – 22m + 1}{m^2 – 4} = \frac{2m + 1}{m + 2} = 2 – \frac{3}{m + 2}\\x = \frac{m – 1}{m + 2} = 1 – \frac{3}{m + 2}\end{cases}\ Để x, y là những số nguyên thì \m + 2 ∈ Ư3 = {1; -1; 3; -3}\ Vậy \m + 2 = ±1, ±3 ⇒ m = -1; -3; 1; -5\ Phép Tính Liên Quan Hệ Phương Trình Online Phương Trình Bậc Hai Online Phương Trình Bậc Nhất Online Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình vô tỉ phương trình có chứa dấu căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đặt $u = tx$, ta được một hệ theo biến $u$ và biến $x.$ Hoặc $u = tx$, $v = kx$ ta được hệ mới theo biến $u$ và biến $v.$ Thông thường cả hai cách đặt đều dẫn đến hệ phương trình đối xứng loại $2$.B. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + \sqrt {1 + x} = 1.$Lời giải Điều kiện $ – 1 \le x \le 1.$ Đặt $u = \sqrt {x + 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{u^2} = 1 + x} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {{x^2} – {u^2} = – x + u} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {x + ux – u + 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = 1 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {x – u + 1 = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + u = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – u}\\ {{x^2} – x – 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\ {x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$ do $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – u + 1 = 0}\\ {{x^2} = 1 – u} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {{x^2} + x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 1$, $x = 0$, $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 2\sqrt[3]{{2x – 1}}.$Lời giải Đặt $y = \sqrt[3]{{2x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {y^3} = 2x – 1$ $ \Leftrightarrow {y^3} + 1 = 2x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 2y\\1}\\ {{y^3} + 1 = 2x\\2} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình $1$ trừ phương trình $2$ vế theo vế ta được phương trình ${x^3} – {y^3} = 2y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {{x^2} + xy + {y^2} + 2 = 0\\3} \end{array}} \right..$ Ta có ${x^2} + xy + {y^2} + 2$ $ = {\left {x + \frac{1}{2}y} \right^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 2 > 0$, $\forall x$, $y$ nên phương trình $3$ vô nghiệm. Thay $y = x$ vào phương trình ${x^3} + 1 = 2y$ ta được phương trình ${x^3} + 1 = 2x$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2x + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow x – 1\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = 1$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x – 9}} = {x – 3^3} + 6.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x – 9}}}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^3} + 6 = v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {v = {u^3} + 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v = {v^3} – {u^3}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u – v\left {{u^2} + {v^2} + uv + 1} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {v^3} + 6}\\ {u = v} \end{array}} \right.$ do ${u^2} + {v^2} + uv + 1$ $ = {\left {u + \frac{v}{2}} \right^2} + \frac{3}{4}{v^2} + 1 > 0$, $\forall u$, $v$. $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^3} – u + 6 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {u + 2\left {{u^2} – 2u + 3} \right = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 2}\\ {v = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 1.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x =1.$ Ví dụ 4. Giải phương trình $\sqrt[3]{{24 + x}} + \sqrt {12 – x} = 6.$Lời giải Điều kiện $x \le 12.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{24 + x}}}\\ {v = \sqrt {12 – x} \ge 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 24 + x}\\ {{v^2} = 12 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 6}\\ {{u^3} + {v^2} = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {{6 – u}^2} = 36} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {{u^3} + {u^2} – 12u = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {uu – 3u + 4 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 6 – u}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {u = 3}\\ {u = – 4} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 6} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 0}\\ {12 – x = 36} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 24.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = 27}\\ {12 – x = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = – 4}\\ {v = 10} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {24 + x = – 64}\\ {12 – x = 100} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 88.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = – 88$, $x = – 24$, $x = 3.$Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 34}} – \sqrt[3]{{x – 3}} = 1.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt[3]{{x + 34}}}\\ {b = \sqrt[3]{{x – 3}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} = x + 34}\\ {{b^3} = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {a^3} – {b^3} = 37.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a – b = 1}\\ {{a^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {{{1 + b}^3} – {b^3} = 37} \end{array}.} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1 + b}\\ {1 + 3b + 3{b^2} + {b^3} – {b^3} = 37} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = 3}\\ {a = 4} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b = – 4}\\ {a = – 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $b = 3$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow {3^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = 30.$ + Với $b =–4$, ta được ${b^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow { – 4^3} = x – 3$ $ \Leftrightarrow x = – 61.$ Kết luận phương trình có nghiệm là $x = 30$, $x=-61.$ Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt {x – 1} + x – 3$ $ = \sqrt {2{{x – 3}^2} + 2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {x – 1} ,u \ge 0}\\ {v = x – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {u^2} + 1}\\ {x = v + 3} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v = \sqrt {2{u^2} + 2{v^2}} }\\ {{u^2} + 1 = v + 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {u + v \ge 0}\\ {u = v}\\ {{u^2} – u – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 5.$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt[4]{{56 – x}} + \sqrt[4]{{x + 41}} = 5.$Lời giải Điều kiện $ – 41 \le x \le 56.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{56 – x}} \ge 0}\\ {v = \sqrt[4]{{x + 41}} \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^4} + {v^4} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{{\left {{u^2} + {v^2}} \right}^2} – 2{u^2}{v^2} = 97} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {{u^2}{v^2} – 50uv + 264 = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 44} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 2}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[4]{{56 – x}} = 3}\\ {\sqrt[4]{{x + 41}} = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 16}\\ {x + 41 = 81} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {56 – x = 81}\\ {x + 41 = 16} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 40}\\ {x = – 25} \end{array}} \right..$ So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=40$, $x=-25.$ Ví dụ 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{2 – x}^2}}} + \sqrt[3]{{{{7 + x}^2}}}$ $ – \sqrt[3]{{2 – x7 + x}} = 3.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{2 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{7 + x}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {{u^3} + {v^3} = 9} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + {v^2} – uv = 3}\\ {u + v\left {{u^2} + {v^2} – uv} \right = 9} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {{{u + v}^2} – 3uv = 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 3}\\ {uv = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $u = 2$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 2$ $ \Leftrightarrow x = – 6.$ + Với $u = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{2 – x}} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$Ví dụ 9. Giải phương trình $\sqrt {4x + 1} – \sqrt {3x – 2} $ $ = \frac{{x + 3}}{5}.$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{2}{3}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt {4x + 1} }\\ {v = \sqrt {3x – 2} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} – {v^2} = x + 3}\\ {u – v = \frac{{x + 3}}{5}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = \frac{{x + 3}}{5}}\\ {u + v = 5} \end{array}} \right..$ Suy ra $2u = \frac{{25 + x + 3}}{5}$ $ \Leftrightarrow u = \frac{{28 + x}}{{10}}.$ Suy ra $\sqrt {4x + 1} = \frac{{28 + x}}{{10}}$ $ \Leftrightarrow 4x + 1 = {\left {\frac{{28 + x}}{{10}}} \right^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = 342} \end{array}} \right..$ Thử lại ta được nghiệm của phương trình là $x = 2.$Ví dụ 10. Giải phương trình $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 – x} .$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt x }\\ {v = \sqrt {1 – x} } \end{array}} \right..$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 + \frac{2}{3}uv = u + v}\\ {{u^2} + {v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 + 2uv = 3u + v}\\ {{{u + v}^2} – 2uv = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2uv = 3u + v – 3}\\ {{{u + v}^2} + 3 = 3u + v + 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 2}\\ {uv = \frac{3}{2}} \end{array}\\{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = 0} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x= 0$, $x=1.$ Ví dụ 11. Giải phương trình ${x^2} – 2x = 2\sqrt {2x – 1} .$Lời giải Điều kiện $x \ge \frac{1}{2}.$ Phương trình đã cho tương đương ${x – 1^2} – 1 = 2\sqrt {2x – 1} .$ Đặt $y – 1 = \sqrt {2x – 1} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 2x = 2y – 1}\\ {{y^2} – 2y = 2x – 1} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 2 .$ + Với $x = – y$ $ \Rightarrow – x – 1 = \sqrt {2x – 1} $ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 2 + \sqrt 2 .$Ví dụ 12. Giải phương trình $2{x^2} – 6x – 1 = \sqrt {4x + 5} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{5}{4}.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} – 11 = 2\sqrt {4x + 5} .$ Đặt $2y – 3 = \sqrt {4x + 5} .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{2x – 3}^2} = 4y + 5}\\ {{{2y – 3}^2} = 4x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – yx + y – 2 = 0.$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 2x – 3 = \sqrt {4x + 5} $ $ \Rightarrow x = 2 + \sqrt 3 .$ + Với $x + y – 2 = 0$ $ \Rightarrow y = 2 – x$ $ \Rightarrow x = 1 – \sqrt 2 .$ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 1 – \sqrt 2 $, $x = 2 + \sqrt 3 .$Ví dụ 13. Giải phương trình $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6}$ $ = \sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} .$Lời giải Điều kiện $x \ge – \frac{{61}}{{12}}.$ Đặt $\sqrt {\frac{{12x + 61}}{{36}}} = y + \frac{1}{6}$, $y \ge – \frac{1}{6}$ $ \Rightarrow \frac{{12x + 61}}{{36}} = {y^2} + \frac{1}{3}y + \frac{1}{{36}}.$ $ \Leftrightarrow 12x + 61 = 36{y^2} + 12y + 1$ $ \Leftrightarrow 3{y^2} + y = x + 5$ $1.$ Mặt khác từ phương trình đã cho ta có $3{x^2} + x – \frac{{29}}{6} = y + \frac{1}{6}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} + x = y + 5$ $2.$ Từ $1$ và $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + x = y + 5}\\ {3{y^2} + y = x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – y3x + 3y + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = y}\\ {y = – \frac{{3x + 2}}{3}} \end{array}} \right..$ + Với $x = y$ $ \Rightarrow 3{x^2} = 5$ $ \Rightarrow x = \sqrt {\frac{5}{3}} .$ + Với $y = – \frac{{3x + 2}}{3}$ $ \Rightarrow 3{x^2} + x = – \frac{{3x + 2}}{3} + 5$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x – 13 = 0.$ $ \Rightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {126} }}{9}.$ Kết luận nghiệm của phương trình là $x = \sqrt {\frac{5}{3}} $, $x = \frac{{ – 1 – \sqrt {14} }}{3}.$Ví dụ 14. Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} – 3\sqrt[3]{{3x + 5}}$ $ = 1 – 3x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} = 3\sqrt[3]{{3x + 5}} + 2.$ Đặt $\sqrt[3]{{3x + 5}} = y + 1$ $ \Rightarrow 3x + 5 = {y + 1^3}.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${x + 1^3} = 3y + 5.$ Từ đó ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = 3y + 5}\\ {{{y + 1}^3} = 3x + 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3}$ $ = – 3x – y.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 3} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ Vì ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 3 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 3x + 5$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có hai nghiệm là $x=1$, $x= -2.$ Ví dụ 15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[3]{{2x + 3}} = {x + 1^3} – x – 2.$ Đặt $y + 1 = \sqrt[3]{{2x + 3}}$ $ \Rightarrow {y + 1^3} = 2x + 3.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{x + 1}^3} = x + y + 3}\\ {{{y + 1}^3} = 2x + 3} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${x + 1^3} – {y + 1^3} = y – x.$ $ \Leftrightarrow x – y\left[ {{{x + 1}^2} + x + 1y + 1 + {{y + 1}^2} + 1} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow x = y$ do ${x + 1^2} + x + 1y + 1$ $ + {y + 1^2} + 1 > 0$. Với $x = y$ $ \Rightarrow {x + 1^3} = 2x + 3$ $ \Leftrightarrow x + 2\left {{x^2} + x – 1} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 2}\\ {x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình có ba nghiệm là $x = – 2$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$Lưu ý + Từ các ví dụ 11, 12, 13, 14 và 15, các bạn hãy tự rút ra quy tắc về cách đặt ẩn phụ trong các ví dụ này. Nguyên tắc là đặt để sau đó có được hệ đối xứng, vậy quy tắc ở đây là gì? + Các bài toán dạng này còn có thể giải được bằng phương pháp hàm dụ 16. Giải phương trình $x + \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } = 6.$Lời giải Điều kiện $x \ge 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \sqrt {x – 1} \ge 0}\\ {b = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } \ge 0} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^2} + b = 5}\\ {{b^2} – a = 5} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $a + ba – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a – b + 1 = 0$ $ \Rightarrow a + 1 = b.$ Suy ra $\sqrt {x – 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } $ $ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 5 – x$ $ \Rightarrow x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}.$Ví dụ 17. Giải phương trình $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } } } .$Lời giải Để $x$ là nghiệm thì $x > 0.$ Đặt $u = \frac{1}{4}\sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } .$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } }\\ {4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } } \end{array}} \right.$ $1.$ + Giả sử $x \ge u$, khi đó ta có $4u = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $ \ge \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {u + 30} } = 4x$ $ \Rightarrow u \ge x.$ Suy ra ta có $x = u$, hay $4x = \sqrt {30 + \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} } $ $2.$ Đặt $v = \frac{1}{4}\sqrt {x + 30} .$ Kết hợp với phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x = \sqrt {30 + v} }\\ {4v = \sqrt {x + 30} } \end{array}} \right.$ $3.$ + Giả sử $x \ge v$, khi đó $4v = \sqrt {x + 30} $ $ \ge \sqrt {v + 30} = 4x$ $ \Rightarrow v \ge x$ $ \Rightarrow x = v.$ Vậy $x = v$ hay $4x = \sqrt {x + 30} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {16{x^2} = x + 30} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$ Kết luận Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{1 + \sqrt {1921} }}{{32}}.$Ví dụ 18. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt {1 – x} $ $ – 2\sqrt {x1 – x} $ $ – 2\sqrt[4]{{x1 – x}} = – 1.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow {u^4} + {v^4} = 1$ $1.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + {v^2} – 2{u^2}{v^2} – 2uv = – 1$ $2.$ Kết hợp phương trình $1$ và phương trình $2$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + 1 – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{u^2} + {v^2} – 2uv + {u^4} + {v^4} – 2{u^2}{v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {{{u – v}^2} + {{\left {{u^2} – {v^2}} \right}^2} = 0} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} + {v^4} = 1}\\ {u – v = 0}\\ {{u^2} – {v^2} = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^4} = {v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{1}{2}.$Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt x + \sqrt[4]{{x{{1 – x}^2}}} + \sqrt[4]{{{{1 – x}^3}}}$ $ = \sqrt {1 – x} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}1 – x}}.$Lời giải Điều kiện $0 \le x \le 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{x}}\\ {v = \sqrt[4]{{1 – x}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u \ge 0}\\ {v \ge 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right..$ Khi đó phương trình đã cho trở thành ${u^2} + u{v^2} + {v^3}$ $ = {v^2} + {u^3} + {u^2}v.$ $ \Leftrightarrow {u^2} – {v^2}$ $ – \left {{u^3} – {v^3}} \right$ $ – uvu – v = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – \left {{u^2} + uv + {v^2}} \right – uv} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – v\left[ {u + v – {{u + v}^2}} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow u – vu + v[1 – u + v] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ do $u$ và $v$ không đồng thời bằng không nên $u + v > 0$. + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u – v = 0}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^4} = \frac{1}{2}}\\ {{v^4} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {1 – x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{{\left[ {{{u + v}^2} – 2uv} \right]}^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {1 – 4uv + 4{u^2}{v^2} – 2{u^2}{v^2} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uvuv – 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {uv = 2} \end{array}{\rm{vô\nghiệm}}} \right.} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {1 – x = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {1 – x = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 1.$Ví dụ 20. Giải phương trình $\frac{{34 – x\sqrt[3]{{x + 1}} – x + 1\sqrt[3]{{34 – x}}}}{{\sqrt[3]{{34 – x}} – \sqrt[3]{{x + 1}}}} = 30.$Lời giải Điều kiện $\sqrt[3]{{34 – x}} \ne \sqrt[3]{{x + 1}}$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{33}}{2}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{x + 1}}}\\ {v = \sqrt[3]{{34 – x}}} \end{array}} \right.$ $u \ne v.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{v^3}u – {u^3}v}}{{v – u}} = 30}\\ {{u^3} + {v^3} = 35} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uvu + v = 30}\\ {{{u + v}^3} – 3uvu + v = 35} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 5}\\ {uv = 6} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2}\\ {v = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 3}\\ {v = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Khi $u =2$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 8$ $ \Leftrightarrow x = 7.$ + Khi $u =3$, ta được $\sqrt[3]{{x + 1}} = 3$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 27$ $ \Leftrightarrow x = 26.$ Kết luận Phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 7$, $x = 26.$Ví dụ 21. Giải phương trình $\frac{{\sqrt[3]{{7 – x}} – \sqrt[3]{{x – 5}}}}{{\sqrt[3]{{7 – x}} + \sqrt[3]{{x – 5}}}} = 6 – x.$Lời giải Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[3]{{7 – x}}}\\ {v = \sqrt[3]{{x – 5}}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{{u^3} – {v^3}}}{2} = 6 – x} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\frac{{u – v}}{{u + v}} = \frac{1}{2}\left {{u^3} – {v^3}} \right} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {u – v = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 1}\\ {{v^3} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 – x = 1}\\ {x – 5 = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 6.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} + {v^3} = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left {{u^2} + {v^2} – uv} \rightu + v = 2}\\ {\left {{u^2} + {v^2} + uv} \rightu + v = 2} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {{u^3} + {v^3} = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {{v^3} = 2} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} = 2}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 7}\\ {x = 5} \end{array}} \right..$ Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = 5$, $x = 6$, $x = 7.$Ví dụ 22. Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x + 1}} = \sqrt[4]{{2x + 1}}.$Lời giải Điều kiện $x \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương $\sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}} = 1.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \sqrt[4]{{\frac{x}{{2x + 1}}}}}\\ {v = \sqrt[4]{{\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {{u^4} + {v^4} = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u + v = 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {uv = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 0}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 0}\\ {v = 1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 1}\\ {v = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow x = 0.$ + Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {uv = 2}\\ {u + v = 1} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x=0.$ Ví dụ 23. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2.$Lời giải Vì $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho tương đương $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} }} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 2}\\ {\sqrt {{x^2} + x + 1} – \sqrt {{x^2} – x + 1} = x} \end{array}} \right..$ Suy ra $2\sqrt {{x^2} + x + 1} = x + 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge – 2}\\ {4{x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 4x + 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0.$ Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm là $x= 0.$ Ví dụ 24. Giải phương trình $4{x^2} – 11x + 10$ $ = x – 1\sqrt {2{x^2} – 6x + 2} .$Lời giải Điều kiện $2{x^2} – 6x + 2 \ge 0.$ Phương trình đã cho tương đương ${2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 1\sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} .$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = 2x – 3}\\ {v = \sqrt {x – 12x – 3 – x – 1} } \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^2} + x + 1 = x – 1v}\\ {{v^2} + x + 1 = x – 1u} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình ${u^2} – {v^2} = x – 1v – u$ $ \Leftrightarrow u – vu + v + x – 1 = 0.$ + Với $u = v$ $ \Rightarrow {u^2} + x + 1 = x – 1u.$ $ \Leftrightarrow {2x – 3^2} + x + 1$ $ = x – 12x – 3$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 6x + 7 = 0$ vô nghiệm. + Với $u + v + x – 1 = 0$ $ \Rightarrow 2x – 3$ $ + \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} $ $ + x – 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} – 6x + 2} = 4 – 3x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le \frac{4}{3}}\\ {7{x^2} – 18x + 14 = 0} \end{array}} \right.$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho vô dụ 25. Giải phương trình ${x^3} – 5{x^2} + 4x – 5$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}}.$Lời giải Phương trình đã cho tương đương ${x + 1^3} – 8{x^2} + x – 6$ $ = 1 – 2x\sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}.$ Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x + 1}\\ {v = \sqrt[3]{{1 – 2xx + 1 + 8{x^2} – x + 6}}} \end{array}} \right..$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xv}\\ {{v^3} – \left {8{x^2} – x + 6} \right = 1 – 2xu} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $u – v\left {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v}\\ {{u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x = 0\\1} \end{array}} \right..$ + Với $u = v$, ta được $\sqrt[3]{{6{x^2} – 2x + 7}} = x + 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$ + Ta có ${u^2} + uv + {v^2} + 1 – 2x$ $ = {\left {\frac{u}{2} + v} \right^2}$ $ + \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ \ge \frac{{3{u^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{{x + 1}^2} – 8x + 4}}{4}$ $ = \frac{{3{x^2} – 2x + 7}}{4} > 0.$ Nên phương trình $1$ vô nghiệm. Kết luận phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2.$Ví dụ 26. Giải phương trình ${x^3} + 1 = 3\sqrt[3]{{3x – 1}}.$Lời giải Đặt $u = \sqrt[3]{{3x – 1}}$ $ \Rightarrow {u^3} + 1 = 3x.$ Kết hợp với đề bài ta được hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 1 = 3u}\\ {{u^3} + 1 = 3x} \end{array}} \right..$ Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình $x – u\left {{x^2} + xu + {u^2} + 3} \right = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = u}\\ {{x^2} + xu + {u^2} + 3 = 0\\{\rm{vô\nghiệm}}} \end{array}} \right..$ Với $x = u$, ta được phương trình ${x^3} – 3x + 1 = 0$ $1.$ Xét $x \in [ – 2;2].$ Đặt $x = 2\cos t$, $x \in [0;\pi ].$ Phương trình $1$ trở thành $8{\cos ^3}t – 6\cos t = – 1.$ $ \Leftrightarrow \cos 3t = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}.$ Do $x \in [0;\pi ]$ $ \Rightarrow t = \frac{{2\pi }}{9}$, $t = \frac{{4\pi }}{9}$, $t = \frac{{8\pi }}{9}.$ Suy ra $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}.$ Vì phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên phương trình trên có ba nghiệm $x = 2\cos \frac{{2\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{4\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{8\pi }}{9}$ và không còn nghiệm nào khác nằm ngoài đoạn $x \in [ – 2;2].$C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. ĐỀ BÀI 1. Giải phương trình $2{x^3} = 1 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{2}}}.$2. Giải phương trình ${x^3} – 3\sqrt[3]{{3x + 2}} = 2.$3. Giải phương trình $2\sqrt[3]{{3x – 2}} + 3\sqrt {6 – 5x} – 8 = 0.$4. Giải phương trình $3 + \sqrt {3 + \sqrt x } = x.$5. Giải phương trình $2x = \sqrt[3]{{7 + \sqrt[3]{{\frac{{x + 7}}{8}}}}}.$6. Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt {2007 + \sqrt x } .$7. Giải phương trình $2x = \sqrt {1 + \frac{3}{2}\sqrt {1 + 3x} } .$8. Giải phương trình $2x = \sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {3 + \frac{1}{2}\sqrt {x + 3} } } } .$9. Giải phương trình ${x^2} – 4x – 3 = \sqrt {x + 5} .$10. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 3 = \sqrt {x + 3} .$11. Giải phương trình $3{x^2} + 6x – 3 = \sqrt {\frac{{x + 7}}{3}} .$12. Giải phương trình $7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} .$13. Giải phương trình $\sqrt {2x + 15} = 32{x^2} + 32x – 20.$14. Giải phương trình $\sqrt[3]{{3x – 5}} = 8{x^3} – 36{x^2} + 53x – 25.$15. Giải phương trình $\sqrt[3]{{81x – 8}} = {x^3} – 2{x^2} + \frac{4}{3}x – 2.$16. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + 1} – \sqrt {{x^2} + 1} = {x^2}.$17. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} + \sqrt[3]{x} = 3.$18. Giải phương trình $x + 3\sqrt { – {x^2} – 8x + 48} = x – 24.$19. Giải phương trình $\sqrt {2 – {x^2}} = {2 – \sqrt x ^2}.$20. Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{1 – x}^3}} – \sqrt {{{1 + x}^3}} } \right]$ $ = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} .$21. Giải phương trình $\sqrt {x + 3} – \sqrt {1 – x} = x + 1.$22. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1} $ $ = 2x + \sqrt {{x^2} – x + 1} .$23. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 9} $ $ + \sqrt {2{x^2} – x + 1} $ $ = x + 4.$24. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 9x + 24} $ $ – \sqrt {6{x^2} – 59x + 149} $ $ = 5 – x.$25. Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} – x + 1} = 3x.$26. Giải phương trình $\sqrt[3]{{{{x + 1}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}$ $ + \sqrt[3]{{xx + 1}} = 1.$27. Giải phương trình $x + 5\sqrt {x + 1} + 1 = \sqrt[3]{{3x + 4}}.$28. Giải phương trình $8{x^2} – 13x + 7$ $ = \left {1 + \frac{1}{x}} \right\sqrt[3]{{3{x^2} – 2}}.$29. Giải phương trình $2x + 1 + x\sqrt {{x^2} + 2} $ $ + x + 1\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 0.$30. Giải phương trình ${x^2} – 2x – 4$ $ = \left {\frac{1}{x} – 2} \right\sqrt[3]{{3{x^2} + 6x + 2}}.$31. Giải phương trình $\sqrt {2 – \sqrt 2 1 + x} + \sqrt[4]{{2x}} = 1.$32. Giải phương trình ${x^2}\sqrt x + {x – 5^2}\sqrt {5 – x} $ $ = 11\sqrt x + \sqrt {5 – x} .$2. ĐÁP SỐ 1. $x = 1.$2. $x = – 1$, $x = 2.$3. $x = – 2.$4. $x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.$5. $x = 1.$6. $x = \frac{{8030 + 2\sqrt {8029} }}{4}.$7. $x = 1.$8. $x = 1.$9. $x = – 1$, $x = \frac{{5 + \sqrt {29} }}{2}.$10. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$, $x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2}.$11. $x = \frac{{\sqrt {73} – 5}}{6}$, $x = \frac{{ – \sqrt {69} – 7}}{6}.$12. $\frac{{ – 6 + 5\sqrt 2 }}{{14}}$, $\frac{{ – 8 – \sqrt {46} }}{{14}}.$13. $x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{{ – 9 – \sqrt {221} }}{{16}}.$14. $x = 2$, $x = \frac{{5 \pm \sqrt 3 }}{4}.$15. $x = 0$, $x = \frac{{3 \pm 2\sqrt 6 }}{3}.$16. $x = 0.$17. $x = 1.$18. $x = – 2 – 2\sqrt 7 $, $x = – 5 – \sqrt {31} .$19. $x = 1.$20. $x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$21. $x = \pm 1$, $x = – 3.$22. $x = 0.$23. $x = 0$, $x = \frac{8}{7}.$24. $x = 5$, $x = \frac{{19}}{3}.$25. $x = 1$, $x = – \frac{8}{7}.$26. $x = – 1$, $x = 0.$27. $x = – 1.$28. $x = 1$, $x = – \frac{1}{8}.$29. $x = – \frac{1}{2}.$30. $x = 2\cos \frac{\pi }{9}$, $x = 2\cos \frac{{5\pi }}{9}$, $x = 2\cos \frac{{7\pi }}{9}.$31. $x = {\left {\frac{{1 \pm \sqrt {\frac{{4 – 3\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[4]{2}}}} }}{2}} \right^4}.$32. $x = 1$, $x = 4.$ Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng toán cơ bản, giúp cho người học toán có một tư duy tốt sau này. Hôm nay Kiến xin gửi đến các bạn về một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn . Bài gồm 2 phần phần Đề và hướng dẫn giải . Các bài tập đa số là cơ bản để các bạn có thể làm quen với phương trình hơn. Các bạn cùng tham khảo với Kiến nhé I. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn Đề Bài 1 phương trình 2x - 1 = 3 có nghiệm duy nhất là ? A. x = - 2. = x = 1. = - 1. Bài 2Nghiệm của phương trình + 3 = 4 là? A. y = 2. = - y = 1. = - 1. Bài 3Giá trị của m để phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 là ? A. m = = m = - 3 = 2. Bài 4Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là? A. S = { 2 }. = { - 2 }.C. S = { }. = { 3 }. Bài 5x = là nghiệm của phương trình nào dưới đây? 3x - 2 = 1. 2x - 1 = 0. 4x + 3 = - 1. 3x + 2 = - 1. Bài 6Giải phương trình A. x = 2 B. x = 1C. x = -2 D. x = -1 Bài 7Tìm số nghiệm của phương trình sau x + 2 - 2x + 1 = -x A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Bài 8Tìm tập nghiệm của phương trình sau 2x + 3 - 5 = 4 x A. S = {1} B. S = 1C. S = {2} D. S = 2 Bài 9Phương trình sau có 1 nghiệm là phân số tối giản. Tính a + b Bài 10Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn số x ? 2x + y 1 = 0 x 3 = -x + 2 3x 22= 4 x y2+ 1 = 0 Bài 11Phương trình nào dưới đây không là phương trình bậc nhất? 2x 3 = 2x + 1 -x + 3 = 0 5 x = -4 x2+ x = 2 + x2 II. Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn Hướng dẫn giải Câu 1 Hướng dẫn giải Ta có 2x - 1 = 3 2x = 1 + 3 2x = 4 x = x = 2. Vậy nghiệm là x = 2. Chọn đáp án B. Câu 2 Hướng dẫn giải Ta có + 3 = 4 = 4 - 3 = 1 y = 2. Vậy nghiệm của phương trình của y là 2. Chọn đáp án A. Câu 3 Hướng dẫn giải Phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 Khi đó ta có 2. - 1 = m + 1 m + 1 = - 2 m = - 3. Vậy m = - 3 là đáp án cần phải tìm. Chọn đáp án C. Câu 4 Hướng dẫn giải Ta có - 4x + 7 = - 1 - 4x = - 1 - 7 - 4x = - 8 x = x = 2. Vậy S = { 2 }. Chọn đáp án A. Câu 5 Hướng dẫn giải + Đáp án A 3x - 2 = 1 3x -3= 0 x = 1 Loại. + Đáp án B 2x - 1 = 0 2x -1= 0 x = Chọn. + Đáp án C 4x + 3 = - 1 4x = - 4 x = - 1 Loại. + Đáp án D 3x + 2 = - 1 3x = - 3 x = - 1 Loại. Chọn đáp án B. Câu 6 Chọn đáp án A Câu 7 Hướng dẫn giải Ta có x + 2 - 2x + 1 = -x x + 2 - 2x - 2 = -x -x = -x luôn đúng Vậy phương trình sẽ có vô số nghiệm. Chọn đáp án D Câu 8 Câu 9 Câu 10 Hướng dẫn giải Đáp án Achắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có hai biến x, y. Đáp án B là phương trình bậc nhất vì x 3 = -x + 2 2x 5 = 0 có a = 2 0. Đáp án C chắc chắn không phải phương trình bậc nhất vì bậc của x là mũ 2. Đáp án D chắc chắn không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì có hai biến x và biến y. Đáp án cần chọn là B Câu 11 Hướng dẫn giải Đáp án A 2x 3 = 2x + 1 2x 2x 3 1 = 0 0x 4 = 0 có a = 0 sẽ không là phương trình bậc nhất 1 ẩn Đáp án B -x + 3 = 0 có a = -1 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án C 5 x = -4 -x + 9 = 0 có a = -1 0 nên là phương trình bậc nhất. Đáp án D x2+ x = 2 + x2 x2+ x - 2 - x2= 0 x 2 = 0 có a = 1 0 nên là phương trình bậc nhất. Phương trình gồm nhiều phương trình khác nhau. Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc hai. Kiến đã soạn một số bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các bạn cũng cố lại lý thuyết, nhận biết về phương trình bậc nhất. Các bạn hãy đọc thật kỹ để có thêm kiến thức sau này vận dụng vào bài thi và kiểm tra nhé. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN1. Phương pháp cộng đại số2. Phương pháp thếB. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢIC. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỰ GIẢI 1. Phương pháp cộng đại số Bước 1 Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2 Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình thu gọn để được phương trình một ẩn. Bước 3 Dùng phương trình thu được ở bước 2 thay cho một trong hai phương trình trong hệ ban đầu ta được hệ mới trong đó có phương trình một ẩn. Bước 4 Giải phương trình một ẩn thu được và kết luận. 2. Phương pháp thế Bước 1 Từ một phương trình của hệ đã cho coi là phương trình thức nhất, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn. Bước 2 Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1. Bước 3 Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Bước 4 Kết luận. Để nắm được cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với 2 phương pháp vừa nêu trên chúng ta cần phải làm thật nhiều bài tập. B. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI Bài 1 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5\,\,\,\,1} \\ {2x+y=8\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {2x+y=8} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {4x+2y=16} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-2y=5} \\ {7x=21} \end{array}} \right.$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\3\cdot 3-2y=5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Chú ý Ta nên rút $y$ theo $x$ ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của $y$ là 1. Ta có 2 ⇔ $y = 8 – 2x$. Thay vào 1 ta được $3x – 28 – 2x = 5$ ⇔ $7x – 16 = 5$ ⇔ $7x = 21$ ⇔ $x = 3$. Với $x = 3$ thì $y = 8 – = 2$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 3;2$. Bài 2 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3\,\,\,\,1} \\ {x-3y=5\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {x-3y=5} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {4x-12y=20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x+5y=3} \\ {17y=-17} \end{array}} \right.$ $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x-5=3} \\ {y=-1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Từ PT 2 ta có $x = 5 + 3y$. Thay $x = 5 + 3y$ vào PT 1 ta được $45 + 3y + 5y = 3$ ⇔ $12y + 5y + 20 = 3$ ⇔ $17y = – 17$ ⇔ $y = –1$. Với $y = –1$ thì $x = 5 + 3 –1 = 2$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 2;-1$. Bài 3 Giải hệ phương trình sau $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3\,\,\,\,1} \\ {2x-3y=17\,\,\,\,\,2} \end{array}} \right.$ Hướng dẫn Giải bằng phương pháp cộng đại số $ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {2x-3y=17} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+y=-3} \\ {4y=-20} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x-5=-3\\y=-5\end{array} \right.$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-5\end{array} \right.$ Giải bằng phương pháp thế Từ PT 1 ta có $y = –3 – 2x$. Thay $y = –3 – 2x$ vào PT 2 ta được $2x – 3–3 – 2x = 17$ ⇔ $2x + 6x + 9 = 17$ ⇔ $8x = 8$ ⇔ $x = 1$. Với $x = 1$ thì $y = –3 – = – 5$. Vậy nghiệm của hệ phương trình là $x;y = 1;- 5$. C. BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỰ GIẢI 1 $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=4 \\ 2 x+y=5\end{array}\right.$ 2 $\left\{\begin{array}{c}2 x+y=7 \\ -x+4 y=10\end{array}\right.$ 3 $\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$ 4 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ x-y=0\end{array}\right.$

cách giải hệ phương trình 5 ẩn